Nous sommes d’accord avant d’être au premier plan du sujet. Vous pouvez trouver différentes définitions de la volatilité. Voici la mienne : la volatilité est une mesure de la propagation au cours du cours d’un actif. Le mot le plus important ici est, bien sûr, « dispersion ». En d’autres termes, la volatilité est une mesure de l’évolution du prix d’un actif.Son utilité est claire dans l’évaluation des risques. En fait, plus la volatilité d’un actif est importante, plus le prix de l’actif varie dans un court laps de temps. Mais attention à ce que cette variation puisse se faire vers le haut et vers le bas. Ainsi, plus la volatilité est élevée, plus le risque de perte ou de gain est élevé. Les deux sont inséparables.La volatilité est également très importante dans les activités de tarification. Ici aussi, le lien est clair. Si vous devez évaluer le prix d’un dérivé dans le temps (option, futur, produit structuré…), le prix sera dépendent en particulier d’une combinaison de la durée de vie du produit et de la volatilité du produit sous-jacent. Ainsi, plus la volatilité est grande, plus le prix du dérivé sera incertain.La volatilité est généralement notée σ dans la littérature financière. Cette notation, celle de l’écart type en mathématiques, n’est pas une coïncidence, comme nous le verrons.
L’approche historique
L’écart type s’impose comme l’outil le plus direct pour apprécier à quel point une série de données s’écarte de sa moyenne. Concrètement, il permet d’obtenir une image claire de la « dispersion » des cours d’un actif autour de leur valeur moyenne. Mathématiquement, il s’exprime ainsi :
Où la moyenne 
et 
représente le prix à différents moments (par exemple, les jours). Dans beaucoup de documents financiers, x peut également désigner les rendements, souvent sous forme logarithmique.
Pour illustrer, voici le cours de clôture du CAC 40 sur dix jours consécutifs. On obtient ici une volatilité quotidienne de 36,248512.
Le principal atout de ce calcul : il s’appuie uniquement sur des prix déjà connus. Simplicité redoutable. Mais cette simplicité a son revers. L’écart type et la moyenne traitent toutes les valeurs sur un pied d’égalité, sans distinguer l’origine d’une variation. Un événement ponctuel, une annonce qui fait bondir le cours, va ainsi déformer la statistique globale, en amplifiant l’écart type. Plus cette valeur extrême se démarque, plus son influence est marquée, car elle intervient au carré dans la formule.
Ce n’est pas le seul biais. Cette méthode cherche à prédire la volatilité future à partir de données passées. Or, les crises financières l’ont prouvé : l’avenir ne se laisse pas facilement deviner par le rétroviseur. On continue d’utiliser ces mesures, car elles sont pratiques. Mais elles restent limitées. Pour mieux tenir compte de l’aspect imprévisible des prix, il faudrait une approche où la volatilité elle-même évolue de façon aléatoire, autrement dit, un modèle stochastique.
La volatilité implicite du modèle Black-Scholes
Revenons d’abord sur le modèle Black-Scholes. Ce modèle de dynamique stochastique relie le prix d’un actif à celui d’un dérivé standard à une date future, typiquement, une option d’achat européenne. L’actif de base, que l’on nomme sous-jacent, sert de référence. Le succès du modèle tient à sa solution : une formule fermée, qui évite de passer par des calculs itératifs laborieux comme dans le modèle de Cox Ross Rubinstein.
Pour calculer le prix d’un dérivé avec Black-Scholes, il faut connaître plusieurs paramètres :
- La valeur du sous-jacent au moment du calcul.
- Le temps restant jusqu’à l’échéance du dérivé.
- Le prix d’exercice de l’option à l’échéance.
- Un taux d’intérêt sans risque.
- La volatilité du sous-jacent.
Lorsque l’actif sous-jacent et l’option sont cotés en Bourse, leurs prix sont connus. Avec les autres paramètres, il devient possible d’en déduire la volatilité. Celle-ci porte alors le nom de volatilité implicite. Implicite, car elle n’est pas extraite de l’historique des prix, mais obtenue par une inversion du modèle. La formule de Black-Scholes permet de passer du sous-jacent à l’option en quelques calculs, mais l’opération inverse, retrouver la volatilité à partir du prix de l’option, nécessite de résoudre une équation différentielle. Il faut alors utiliser des techniques itératives. Concrètement, on choisit une valeur de volatilité, on calcule le prix du dérivé, puis on compare au prix réel. Si ça colle, c’est gagné. Sinon, on ajuste et on recommence, mais pas au hasard : des méthodes mathématiques guident la recherche. Ce processus itératif demande plus de puissance de calcul qu’une simple application de la formule directe.
Comme une grande partie des produits dérivés négociés utilisent Black-Scholes pour leur tarification, la volatilité implicite s’est imposée comme référence. Elle reflète la volatilité anticipée par le marché pour l’actif sous-jacent. Mais ce modèle a ses limites. Black-Scholes considère la volatilité comme constante, ce qui ne colle pas à la réalité. Si l’on prend deux options identiques, ne différant que par le prix d’exercice, la volatilité implicite calculée devrait être la même. Pourtant, ce n’est pas ce qu’on observe. Selon la classe d’actifs, la volatilité implicite varie en fonction du prix d’exercice, dessinant des courbes bien connues : le fameux sourire ou une courbe déséquilibrée.
Autre hypothèse fragile : la volatilité serait constante, quelle que soit l’échéance. Là encore, les marchés démentent. Si l’on observe la volatilité en fonction du prix d’exercice et de la maturité, on ne trace plus une courbe, mais une surface complète : la nappe de volatilité. À partir de ces surfaces, on peut interpoler la volatilité pour chaque couple prix d’exercice/maturité : c’est l’idée des modèles de volatilité locale. Voici, pour illustration, une table de volatilité sur ALPHABET-A (Google) :
Une approche stochastique : le modèle SABR
Le modèle SABR introduit une avancée majeure : il fait évoluer non seulement le prix du sous-jacent mais aussi sa volatilité selon des processus stochastiques. Le hasard ne touche donc plus seulement les prix, mais aussi la volatilité elle-même. C’est déterminant pour qui cherche à coller au comportement réel des marchés. Regardez un graphique de prix : la trajectoire est tout sauf régulière. Il est logique que la volatilité, reflet de ces mouvements, oscille elle aussi de façon imprévisible.
L’acronyme SABR signifie Stochastic Alpha Beta Rho. Alpha, Beta et Rho sont les trois paramètres qui gouvernent le modèle. Développé par Patrick Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski et Diana Woodward, il s’applique notamment à la modélisation des taux d’intérêt à terme, mais aussi à d’autres actifs. Le cœur du modèle est un système d’équations différentielles stochastiques :
Avec Zt et Wt deux processus de Wiener (la composante aléatoire du modèle), corrélés via un coefficient précis. Formellement, on pose :
Le modèle fonctionne dans le cadre de ces conditions :
- 0 ≤ β ≤ 1
- α ≥ 0
- -1 < ρ < 1
Même si, au départ, on connaît les valeurs initiales F₀ et σ₀, ce système ne se résout pas par une simple formule. Il existe cependant une solution asymptotique, obtenue par itérations rapides. Moins direct qu’une formule fermée, certes, mais plus efficace que la plupart des modèles stochastiques sans solution approchée.
Autre force : ce modèle rend compte du sourire de volatilité grâce au paramètre β. On observe réellement ces sourires sur les marchés, ce qui donne au SABR une capacité d’ajustement supérieure. Par ailleurs, la volatilité lognormale du modèle, parfois appelée « vol de vol », introduit une dimension supplémentaire. Si α = 0, le modèle SABR se réduit au modèle CEV, autre pilier de la modélisation stochastique.
Ce modèle ne fait pas de miracles. Sa mise en œuvre reste complexe. Les paramètres α, β et ρ sont au nombre de trois, mais leur calibrage exige finesse et prudence. On peut les estimer à partir de données historiques (avec toutes les limites évoquées plus haut) ou bien en s’appuyant sur les paramètres de marché en temps réel (ce qui réintroduit les faiblesses de la volatilité implicite). D’autres modèles existent, souvent adaptés à des familles d’actifs spécifiques.
La volatilité, dans toutes ses nuances, ne cesse de défier les modèles. La réalité du marché, elle, ne se laisse jamais enfermer longtemps dans une formule. Voilà pourquoi, pour chaque avancée mathématique, il reste toujours une part d’incertitude à apprivoiser.
